Não era nossa intenção apresentar recensões dos manuais do 11.º ano em aprovação para os próximos anos lectivos. Sendo dois dos autores de recensões também co-autores de um manual para o 11.º ano, duvidávamos que tal iniciativa fosse adequada e, adequada ou não, sabíamos que se prestaria a más interpretações. Não fazer recensões, livrando-nos da suspeita de concorrência agressiva (e do contra-ataque), seria talvez a decisão mais acertada, porém, o alarme provocado pela quantidade e natureza dos erros que detectámos nos manuais que já tivemos oportunidade de consultar obrigou-nos a rever essa decisão.

Parte das nossas dúvidas deixaram, entretanto, de ter razão de ser porque quando as recensões saírem já a maioria das escolas fez a sua adopção. Por outro lado, o objectivo das recensões não é o de influir nas adopções, mas o de gerar o debate e a crítica mútua que permitam eliminar erros, superar deficiências, produzir melhores manuais, sem os quais a filosofia e o seu ensino não progredirão.

Em todo o caso o nosso manual está também no mercado. Claro que não o vamos recensear mas convidamos os interessados a fazê-lo. Serão também bem vindas quaisquer recensões sobre outros manuais, já recenseados ou não. A condição que pomos para a sua publicação é a mesma que pomos para as nossas recensões: não pode refugiar-se em vaguezas, deve ser clara e as virtudes ou defeitos que a pessoa quiser indicar terão de ser especificados para que o leitor possa ajuizar por si.

Não pretendemos fazer uma recensão completa e global de cada manual. Na análise de manuais do 10.º ano centrávamo-nos na I Unidade, para verificarmos se os manuais ofereciam uma versão adequada da actividade filosófica, e só depois, se essa condição se verificásse, analisávamos a exposição dos conteúdos de uma outra unidade. No 11.º ano iremos adoptar um procedimento idêntico: Centrar-nos-emos na lógica e só depois, se a exposição destes conteúdos for correcta, passaremos a outra unidade. Se existirem erros graves na exposição da lógica, a análise da exposição dos conteúdos de qualquer outra unidade do programa afigurasse-nos desnecessária. Há duas razões para este procedimento. A primeira é a de que em matéria de lógica os erros são mais fáceis de identificar do que nos outros conteúdos do programa; a segunda é a da importância da lógica na actividade filosófica. Em filosofia não temos como recurso a montagem de experiências que corroborem ou refutem as nossas teses. O uso de material empírico limita-se, em regra, a factos bem conhecidos e consensuais e com o objectivo de comprovar a compatibilidade dos princípios com essas premissas comuns. Esta condição da filosofia obriga a dar esp, atenção cujos padrões críticos serão dados pela lógica elementar. Uma má apresentação da lógica significará, portanto, a abertura para o desleixo argumentativo que tem vitimado a nossa filosofia no resto da exposição dos conteúdos do programa.

Sabemos que as recensões que publicámos no ano passado incomodaram vivamente alguns autores. Contudo, nenhum deles tentou rebater as críticas que dirigimos ao seu trabalho. Teríamos tido todo o gosto em publicar as suas respostas. Isso, claro, também é verdade este ano.

Filosofia 11
Carlos Amorin, M. Isabel Chorão Aguiar e M. Margarida Pereira
Areal Editores, 2004

De novo os F3P

Estranhei que este manual não começasse por referir os famosos três princípios da Lógica, princípios que, como notei a propósito de «A Cor das Ideias» não se vê principiarem coisa alguma. Mas lá os encontrei nas páginas 33 e 34. Há alguma razão para a sua inclusão a não ser o respeito pela tradição?

Se os F3P são princípios da lógica, então as outras regras de inferência que estudamos são deles derivados e, nesse caso, os manuais deveriam dar-nos uma explicação, mesmo que básica, do processo de derivação das regras mais específicas a partir de tais princípios. Ora, nunca se vê essas outras regras derivarem dos princípios. Isso deveria ser razão para concluir que ou os F3P não são os princípios de toda a lógica ou que os manuais escondem alguma coisa. Mas parece que nem uma nem outra coisa perturbam os autores. Concluo, até que alguém me explique o meu erro, que os manuais ou fazem propaganda de princípios que não são princípios ou transformam os princípios em mistério. Em nenhum dos casos vejo vantagens e só vejo desvantagens em dizer ao alunos «Estes são os princípios da lógica. Não vamos ver como é que deles deduzimos outras regras mas devem ter fé no que digo.»

Coerência é o mesmo que validade?

É inquietante o número de manuais que identificam «validade» e «coerência». Como este manual onde se pode ler na página 14:

«Quer isto então dizer que a lógica se interessa pelas regras da coerência do pensamento, não em sentido material, mas em sentido formal»

A lógica formal tem por objecto a validade. Dizer que se interessa pelas regras da coerência será o mesmo? Se «coerência» e «validade» fossem sinónimos então um argumento inválido seria incoerente e reciprocamente. Um simples exemplo basta para mostrar que há problemas com esta suposta sinonímia.

A água é bebível.
Logo, a laranja é comestível.

Este argumento é obviamente inválido mas não é incoerente. É inválido porque não garante que a conclusão (a laranja é comestível) seja verdadeira no caso de a premissa (A água é bebível) ser verdadeira. Mas não é incoerente porque ninguém se contradiz por afirmar as duas proposições (premissa e conclusão). Validade e coerência não são, portanto, a mesma coisa.

Acontece apenas que em tempos remotos uma pessoa importante disse que a lógica trata da «coerência» e daí para a frente os manuais repetem-no. Quanto à ideia, sugerida pelo texto que citámos, de que exista uma «coerência em sentido material», não sei o que possa ser e duvido que alguém possa saber.

A lógica nada tem a ver com a verdade dos factos?

A relação da lógica com a verdade e com os factos tem de ser abordada com cuidado.

Não se pode dizer, na página 14,

«O mesmo é dizer que a lógica não tem nada que ver com a verdade dos factos ou das opiniões.»

e dizer, na página 17

«.a lógica é a ciência que procura a verdade dos enunciados, separando os verdadeiros dos falsos, determinando as formas válidas de raciocínio.»

Em que pé ficará o estudante? Irá, talvez dizer coisas como «a lógica nada tem a ver com a verdade dos factos porque procura a verdade nos enunciados.» pensando com os seus botões que é mais uma daquelas coisas que não se percebem mas que, em filosofia, se dizem e estão certas.

A ideia que o manual obscureceu é esta: para sabermos se um argumento é válido não precisamos de saber se as suas premissas ou conclusão são verdadeiras ou falsas.

Concluir daqui que «a lógica não tem nada que ver com a verdade dos factos ou das opiniões» já será saltar para o abismo em vez de explicar como é que as conexões lógicas são importantes para o nosso conhecimento factual.

A lógica ensina-nos que se o enunciado factual A for verdadeiro, então o enunciado factual não A é falso. Também ensina que se a nossa opinião A implicar que B seja o facto, então caso B seja falsa, a nossa opinião A é falsa. Ensina que se tomarmos por verdadeiros os enunciados factuais A e B, então, caso o enunciado factual C implique D e D implique não A, então C já não poderá ser tomado como verdadeiro. Claro que não compete à lógica verificar se as proposições que tomam os lugares de A, B, C e D são verdadeiras ou falsas. Mas a simples capacidade de concluirmos que certos enunciados factuais devem ter um certo valor de verdade (falso ou verdadeiro) por causa dos valores de verdade de outros enunciados, mostra que «nada ter a ver com a verdade dos factos» obscurece definitivamente o papel da lógica nos nossos juízos sobre factos (ou não) e as suas conexões. E os nossos manuais parecem empenhados nesse obscurecimento.

O círculo da validade

Lemos na página 17:

«Uma inferência diz-se válida quando a sua construção formal obedece a regras lógicas, independentemente do seu conteúdo»

Apesar da afirmação ser verdadeira, porque diz apenas «Uma inferência válida é uma inferência válida», não nos faz avançar um passo e é por isso que a lógica recomenda que evitemos definições circulares. As regras da lógica formal são regras que asseguram a validade, são padrões de inferência válida que podemos usar para examinar inferências ou para as construir. Mas com isto não dissemos o que é uma inferência válida e, se ficarmos por aqui, obtemos a ideia de que as regras são misteriosas ou arbitrárias.

Mais desventuras da validade

Ainda na página 17 lemos,

«Contudo, embora a validade seja condição necessária para a verdade, só por si não a garante»

Isto está errado. A validade não é condição necessária para a verdade e basta este pequeno argumento idiota para o provar:

A Terra é redonda.
Logo, a Terra é um planeta.

Não há nada de falso neste argumento, tanto a premissa como a conclusão são verdadeiras e a crítica que podemos fazer a este argumento é a de que ele, sendo inválido, não prova nada.

O próprio manual se desmente quando diz, em caixa e ainda na página 17:

«A verdade diz-se do que é afirmado nas premissas, o seu aspecto material»

Ora, como é que a validade é uma condição necessária da verdade das premissas? Note-se também que, dado um argumento, verdade e falsidade não se dizem apenas das premissas. Verdade e validade são propriedades das proposições e, como a conclusão é também uma proposição, ela será também verdadeira ou falsa.

A lógica é uma batata?

A grande surpresa surge na página 19.

«Marilyn Monroe é uma estrela.
As estrelas transformam o oxigénio em Hélio.
Logo, Marilyn Monroe transforma o hidrogénio em hélio.

E sobre este argumento dizem os autores:

É um raciocínio correcto do ponto de vista lógico. No entanto, a sua conclusão é falsa ainda que as suas premissas sejam verdadeiras.

Eu devia processar este manual pelo estado afónico, agráfico e de queixus caidus em que me deixou. Nunca tinha visto um filósofo, nem mesmo um filósofo posmoderno, identificar raciocínio falacioso com raciocínio correcto e o choque foi brutal.

Uma pessoa que nunca tenha estudado lógica nem filosofia identifica facilmente a falácia cometida e percebe que o argumento só pode valer como boa piada mas, se for confrontada com este texto, pensará que a lógica e a filosofia devem ser uma espécie de doença mental que as instituições erroneamente tomaram por coisa digna de ser propagada.

Protejo a minha saúde ficando por aqui, pelo menos até saber que há uma edição corrigida deste manual.

Filosofia - 11º Ano
Marcello Fernandes e Nazaré Barros
Lisboa Editora, 2004

Tinha alguma expectativa em relação a este manual porque os autores, como registei na recensão do seu manual para o 10.º ano, fogem ao pretensiosismo e não gostam de inventar dificuldades. Por isso, lamento que não tenham investido um pouco mais no tratamento da lógica para eliminar os erros que ainda pontuam o seu trabalho e para se afastarem dos equívocos típicos sobre a relação da lógica com a filosofia.

No seu primeiro ponto, «Para que serve a Lógica?», o manual manifesta já uma das suas limitações. São três páginas claras mas. que não dizem nada de específico sobre a relação entre Lógica e Filosofia. Isto é um mau sinal, dado o importante papel da lógica elementar na filosofia. A filosofia não tem a sorte das outras disciplinas que podem recorrer sistematicamente à experiência parta corroborar ou refutar as suas teorias. Isso obriga a usar uma destas soluções: inventamos um mecanismo especial pelo qual os filósofos atingem a verdade e abrimos o caminho para o misticismo e para o discurso impressionante; confiamos no raciocínio espontâneo e abrimos o caminho para a desorientação da maioria dos alunos sobre o que os professores deles esperam em Filosofia; usamos a lógica para estudar e aperfeiçoar essa capacidade de encadear razões. Neste caso, a lógica ajudará o aluno a saber o que é argumentar em prol de uma teoria, a determinar os passos que deve dar para justificar a sua teoria, a derivar consequências das teorias, a descobrir premissas em perigo, a reconhecer e construir refutações e assim por diante. Apresentar um capítulo de lógica como se o interesse do seu estudo fosse, mais uma vez, o de dar ao filósofo alguns instrumentos para satisfazer a sua mais ou menos vaga curiosidade sobre as ciências e as técnicas, afasta o aluno da compreensão do que é o debate racional e da especificidade do trabalho filosófico.

No ponto seguinte «Distinção entre validade e verdade» algumas noções básicas de lógica vão ser maltratadas.

No terceiro parágrafo da página 15 assume-se que os argumentos podem ser verdadeiros ou falsos quando a verdade e a falsidade são propriedades das proposições e não dos argumentos. Na página 16 esta confusão adensa-se. Depois de propor dois argumentos para análise, o manual trata-os como afirmações - a primeira seria verdadeira(!) e a segunda falsa(!). Ainda no mesmo parágrafo registe-se uma ambiguidade que assola os nossos manuais, a da expressão «conclusão necessária». Os manuais tratam «conclusão necessária» como se fosse sinónimo de «a conclusão deriva das premissas» ou «deves, necessariamente, concluir que.» não vendo a potencial confusão com a noção de «proposição necessária», ou seja, com tautologias. Se dizemos que a conclusão é necessária sugerimos, erroneamente na maior parte dos casos, que a conclusão é uma verdade necessária quando a necessidade que de facto queremos indicar pertence ao argumento e não à proposição.

Na página 17, contra o que a boa prática da lógica tem estipulado, o manual usa «então» como sinónimo de «Logo» e propicia a confusão entre enunciados condicionais, para os quais devemos reservar «então», e os argumentos, cujas premissas devemos separar da conclusão com um «logo». Os nossos alunos confundem com frequência condicionais com argumentos porque, na linguagem corrente, «então» também se usa para indicar uma conclusão e não um consequente, enquanto o «logo» também é usado para indicar o consequente de um condicional. Mas a lógica deveria servir para desfazer tais ambiguidades e exercitar a distinção e o reconhecimento das diferentes conexões lógicas.

Na página 17 deixa-nos mais uma ambiguidade grave:

«Em todos os raciocínios formalmente idênticos, se as asserções que constituem o argumento forem verdadeiras, então a conclusão a que se chega será necessariamente verdadeira»

Ora, como é óbvio, isto só é verdadeiro se a referida forma for válida, se não for válida, a conclusão pode ser falsa. Mas, neste caso, será fácil aos autores corrigir este ponto na próxima edição.

Os autores oferecem depois alguns textos e, mais uma vez, é notável o esforço para escolher textos acessíveis e clarificadores. Infelizmente o texto da página 19, de M. S. Lourenço, repete uma ambiguidade que tem provocado muitos desastres entre os nossos estudantes.

«. à lógica cabe apenas dizer que um argumento é válido se de uma premissa verdadeira não se extrai uma conclusão falsa»

Veja-se o seguinte argumento:

O peixe vive no mar.
Logo, a sardinha é peixe.

Baseando-se naquela citação, os nossos alunos concluiriam que o argumento é válido porque da premissa verdadeira não se extraiu uma conclusão falsa. O facto é que o aluno, nesta fase, não tem obrigação de distinguir um uso técnico de «extrai», que significaria «deriva segundo regras lógicas» ou «conclui legitimamente», do uso informal que simplesmente assinala que a partir de A uma pessoa, bem ou mal, concluiu B.

Na página 29 é definido o raciocínio:

«Operação pela qual, de duas ou mais proposições, se extrai uma outra proposição em virtude das leis da lógica»

Porquê duas proposições? Penso que é apenas para fazer o jeito a uma tradição mesmo nos aspectos em que tal já não se justifica. Afinal a tradição contemplou as «inferências imediatas» como «Todo homem é mortal. Logo, nenhum não mortal é homem» e a menos que se queira dar um significado especialíssimo a «inferência», inferência é sinónimo de raciocínio e estes dois podem, em regra ser tratados como sinónimos de argumentos. De facto, não vemos nenhuma diferença de natureza entre esta inferência e inferências que têm mais de uma premissa. Isto ainda se torna mais claro quando algumas das regras da dedução (como a simplificação e a adição da disjunção) derivam uma proposição apenas de uma outra.

Dedução e indução

Da página 32 à página 37 o manual oferece-nos a a distinção entre indução e dedução com os tradicionais equívocos.

Assim, tanto na exposição dos autores como nos textos escolhidos a indução é definida apenas como generalização. Quais são os defeitos desta abordagem?

A distinção maior entre tipos de argumentos é a distinção entre argumentos dedutivos e não dedutivos. Os primeiros são os que, dada a verdade das premissas, devem garantir a verdade da conclusão; os segundos são os que, dada a verdade das premissas, dão algum apoio à conclusão mas não podem garantir a sua verdade. Ora, como há muitos padrões de argumento não dedutivo (generalizações, previsões, analogias.), opor a dedução à indução, reduzindo esta à generalização, significa pôr de lado todos os outros tipos de argumentos. Uma consequência deste facto é a de que os estudantes não são assim exercitados para distinguir e analisar os argumentos que estruturam as suas próprias convicções - para esse efeito os argumentos de autoridade e as analogias são indispensáveis; outra consequência: com tal processo, o estudante dificilmente poderá compreender que há um problema sério com a justificação de todos argumentos não-dedutivos, um problema que os abrange a todos e que esse será o problema da justificação das suas próprias crenças; por outro lado, também é posta de lado a referência às regras pelas quais um argumento não-dedutivo dá força às suas conclusões. Com esta mutilação da lógica, esta disciplina aparece ao aluno como uma disciplina que trata de trivialidades (os argumentos mais simples com que, em regra, começamos a ensinar a lógica) ou de matéria que apenas diz respeito às ciências - a dedução, por causa da matemática; a generalização, por causa das leis científicas.

Na página 36 é dada esta definição de raciocínio dedutivo ou dedução:

«uma operação pela qual o entendimento conclui a verdade de uma proposição a partir da verdade de uma proposição universal da qual ela deriva»

Este é um tipo de erro que já não podemos desculpar. Os exemplos de deduções que não se adaptam a esta definição são infinitos e qualquer pessoa que leccione lógica tem obrigação de os conhecer e saber construir usando formas de dedução válida como «A e B. Logo, A», «A ou B. Não A. Logo B», «Se A, então B. A. Logo, B» e muitas outras. Quando os nossos alunos forem submetidos a exame, como classificarão estes argumentos: «José estudou ou cabulou. José não estudou. Logo, José cabulou.», «José estudou (jurou Maria). José cabulou (garantiu Manel). Logo, José estudou e cabulou (conclui João)»? Irão dizer que não é uma dedução porque não tem uma proposição universal como premissa? Bem, eu darei zero a essa resposta.

Razão e Diálogo
J. Neves Vicente
Porto Editora, 2004

Uma forma simples dos autores de manuais evitarem cometer erros ao tratar do conteúdo Racionalidade argumentativa - em particular, no que respeita à lógica formal e informal - seria basearem-se em algumas excelentes introduções à lógica e ao pensamento crítico escritas por autores ingleses ou americanos. Este seria, pelo menos, um passo lógico para quem acusa os filósofos ingleses e americanos de povoarem os seus livros de análises lógicas, reconhecendo implicitamente a sua competência nesse domínio. Mas não. Os autores de manuais não deram este passo simples e óbvio. Em vez disso, basearam-se numa profusão de fontes duvidosas (cuja síntese depois procuram fazer) e deram livre curso àquilo em que parecem ser especialistas: inventar e complicar. O resultado disto, como é óbvio, é sempre mau.

Razão e Diálogo parece ser mais um exemplo de aplicação deste paradigma. As confusões começam praticamente com as primeiras palavras do manual.

Logo na página 9 ficamos a saber - sem que isso seja justificado, apenas exemplificado - que há vários tipos de racionalidade(!): racionalidade técnica, do engenheiro que calcula o ferro necessário para uma laje de betão; racionalidade científica, do investigador que detecta problemas, formula e testa hipóteses; racionalidade prático-ética, quando se ponderam razões e se tomam decisões controversas no âmbito da moral ou da bioética; racionalidade prático-política, na procura e fundamentação das formas ideais de organização social e política.

Percebe-se imediatamente a nefasta influência de alguns «pensadores» francófonos (Perelman, Meyer e outros), que julgam poder distinguir diferentes tipos de racionalidade consoante o campo de aplicação e o fim em vista. (Fica-se sem perceber porque não há também uma racionalidade futebolística, uma racionalidade militarista, uma racionalidade pedofilística, etc., etc.). E, de facto, logo de seguida o autor introduz a distinção perelmaneana clássica entre racionalidade demonstrativa e racionalidade argumentativa.

«Por racionalidade argumentativa entende-se um tipo de racionalidade que se distingue em particular da racionalidade demonstrativa, ou seja, da racionalidade estritamente formal que tem lugar em geometria, em matemática ou em lógica. Há racionalidade seguramente numa demonstração geométrica ou num cálculo aritmético, mas há racionalidade também, ou dever haver, na decisão de uma juiz, na deliberação de uma assembleia e nas nossas decisões pessoais, tantas vezes difíceis, quando não dramáticas.»

A racionalidade filosófica é, claro, um caso particular de racionalidade argumentativa. O cenário está assim montado para fazer da retórica o método da filosofia.

Na página 10 encontramos estas «regras simples de inferência correcta»:

Se chover, fico em casa. Chove. Logo, fico em casa.

Se respira, vive. Não vive. Então não respira.

Provavelmente, o que o autor pretende fazer é dar exemplos de modus ponens e de modus tollens que são regras de inferência válida, mas o que fez foi apresentar exemplos e dizer que eles constituem as próprias regras.

Nas páginas 22 e 23 o autor ocupa-se da distinção entre lógica proposicional e lógica de predicados e aí encontramos um dos poucos casos em que um manual apresenta correctamente a lógica proposicional e a lógica de predicados como lógicas clássicas e a lógica clássica como uma lógica bivalente, isto é, que só admite que as proposições sejam verdadeiras ou falsas.

Sobre a lógica proposicional não há grande coisa a dizer. Em relação à lógica de predicados as coisas são um pouco diferentes. O autor introduz, neste contexto, a distinção entre sujeito e predicado e entre termos distribuídos e não distribuídos. Por momentos, julgamos que pensa que a lógica clássica é constituída pela lógica proposicional e pela lógica de classes de Aristóteles. Mas não. O autor está mesmo a referir-se ao cálculo de predicados. Ignora, portanto, que aquilo que na teoria do silogismo de Aristóteles era tratado como sujeito e predicado é tratado neste cálculo sempre como predicado. Na teoria do silogismo de Aristóteles, uma proposição como «Todos os animais são inteligentes.» tem «animais» como sujeito e «inteligentes» como predicado. Mas no cálculo de predicados quer «animais» quer «inteligentes» são predicados e a forma correcta de expressar a proposição é:

«Tome-se o que se quiser do domínio, se isso tiver o predicado de ser animal, então terá o predicado de ser inteligente.»

No cálculo de predicados (e em particular nas expressões com quantificadores, a que o autor parece reduzir este cálculo esquecendo os enunciados singulares) também há sujeitos, mas estes não coincidem com os sujeitos gramaticais das frases.

Mais à frente, na página 48, a propósito da redução das frases da linguagem natural às formas-padrão da lógica proposicional, também se encontram algumas falhas importantes. No Exemplo 3, a proposição «Se for de platina, é muito caro.» é correctamente formalizada como 'p ® q', mas o comentário é completamente desajustado. Diz-se aí que «Ser de platina» é condição necessária para «Ser caro», mas não é condição suficiente. Na verdade, passa-se o contrario. O que a proposição afirma é que «Ser de platina» é condição suficiente para «Ser caro», isto é, que do facto de «Ser de platina» se segue que «É caro», mas não é condição necessária, porque não é necessário que algo seja de platina para ser caro. A razão que é aduzida para não ser uma condição suficiente (se fosse ouro também seria caro) é precisamente a que faz com que não seja uma condição necessária. A distinção entre condição necessária e suficiente é, na verdade, fácil de perceber. Se digo

Se é de Vila Franca de Xira, então é português.

Estou a dizer que basta ser de Vila Franca de Xira para ser português, quero dizer, ser de Vila Franca de Xira é condição suficiente para ser português. Mas ser de Vila Franca de Xira não é condição necessária para ser português, pois quem for de Coimbra ou do Porto também é português. Contudo, ser português é condição necessária para ser de Vila Franca de Xira, ou de Coimbra ou do Porto, pois alguém que não seja português também não pode ser de nenhuma destas cidades (para uma boa explicação do que é uma condição necessária, uma condição suficiente, uma condição necessária e suficiente veja-se Aires Almeida (org.), Dicionário Escolar de Filosofia, Plátano, 2003).

O que acabámos de ver pode parecer de importância diminuta a algumas pessoas, porque, afinal de contas, se soubermos qual é o antecedente (ou o consequente) de uma proposição sabemos imediatamente qual é a condição necessária (ou suficiente) dessa proposição. Isso é verdade, mas o que acontece com frequência é a situação inversa: termos de determinar qual é a condição necessária (ou suficiente) para sabermos qual é o antecedente (ou o consequente) de uma proposição. Os Exemplos 5 e 6, onde também há problemas, ilustram bem este ponto. No Exemplo 5 trata-se de formalizar a proposição

«Só argumentaremos bem, se respeitarmos as regras lógicas e soubermos evitar as falácias.»

Se soubermos qual é o antecedente desta proposição, não teremos qualquer problema a formalizá-la. Mas, a menos que saibamos de memória como se formalizam as proposições de tipo «Só X, se Y», a melhor forma de determinarmos qual é o antecedente é saber qual é a condição necessária ou a condição suficiente.

Um erro muito frequente é pensar que o antecedente é o que se segue imediatamente a «Se» e que, portanto, a proposição tem a seguinte forma-padrão:

«Se respeitarmos as regras lógicas e soubermos evitar as falácias, então argumentaremos bem.»

Foi o que fez, erradamente, o autor. Contudo, como ocorre neste caso, nem sempre o antecedente é constituído pela proposição - ou proposições - que se seguem a «Se». A forma de vermos isto é perguntarmo-nos o que na proposição é condição suficiente (ou condição necessária). Basta respeitar as regras da lógica e evitar falácias para argumentar bem? Não. Porque podemos respeitar as regras da lógica e evitar falácias e mesmo assim argumentar mal (no caso, por exemplo, de as razões que evocarmos serem más). Basta argumentar bem para respeitar as regras da lógica e evitar falácias? Sim. Se argumentarmos bem, então segue-se que respeitámos as regras da lógica e evitámos falácias (podemos ter feito também outras coisas - como evocar razões adequadas -, mas certamente que se argumentámos bem, respeitámos as regras da lógica e evitámos falácias). Assim, «Argumentar bem» é a condição suficiente e, portanto, o antecedente desta condicional, pelo que a forma correcta da proposição é

«Se argumentarmos bem, respeitaremos as regras lógicas e saberemos evitar as falácias.»

Usando a interpretação do manual

P - Respeitar as regras lógicas.
Q - Saber evitar falácias.
R - Argumentar bem.

A proposição tem a seguinte formalização:

R ® (P Ù Q)

Passa-se algo semelhante com o Exemplo 6, cuja formalização correcta não é 'R ® (P Ù Q)', mas '(P Ù Q) ® R' (Para um tratamento mais exaustivo deste tema veja-se a recensão do manual A Cor das Ideias).

Na página 49, são-nos dados outros exemplos de «redução à forma-padrão». Entre eles está este:

Aristóteles redigia obras ou ensinava na Academia.

A sua redução à forma-padrão é apresentada como dando origem à seguinte proposição:

Ou Aristóteles redigia obras ou ensinava na Academia.

Que, por sua vez, se diz ser uma disjunção exclusiva. Ora, não se vê - a não ser por mera convenção - porque se há-de usar como exemplo de disjunção exclusiva uma disjunção que é claramente inclusiva (afinal, que impede Aristóteles de redigir obras e ao mesmo tempo ensinar na Academia?), quando os exemplos de disjunções exclusivas são abundantes?

Na página 50, o Exemplo 3 também merece alguns reparos. O exemplo é o seguinte:

Se é certo que Aristóteles escreveu obras de lógica e de política, também é certo que escreveu obras de política e de lógica.

Aparentemente, não há aqui qualquer argumento. A interpretação mais imediata é

Se é certo que Aristóteles escreveu obras de lógica e de política, então também é certo que escreveu obras de política e de lógica.

fazendo com que a frase enuncie uma mera condicional. Contudo, o manual apresenta-a como expressando um argumento:

Aristóteles escreveu obras de lógica e de política
Logo, Aristóteles escreveu obras de política e de lógica

Isto não está necessariamente errado. De uma maneira geral, «Se X, então Y» expressa uma condicional, mas pode também expressar um argumento na condição de aquilo que se segue a «Se» ser apresentado como uma razão para alguém aceitar o que se segue a «então». Assim, no exemplo acima num cenário em que alguém recusasse aceitar que «Aristóteles escreveu obras de política e de lógica», podemos imaginar que alguém argumentasse dizendo

Aristóteles escreveu obras de lógica e de política
Logo, Aristóteles escreveu obras de política e de lógica

Mas a maior parte das vezes «Se X, então Y» expressa meramente uma condicional e é errado sem dar nenhuma informação adicional apresentá-la como expressando um argumento. O leitor que não sabe lógica (isto é, os nossos alunos) vão pensar que com «Se X, então Y» tanto se pode expressar uma condicional como expressar um argumento (à vontade do freguês) e, consequentemente, que a lógica é um malabarismo e uma imposturice barata.

Pior, muito pior, é a formalização oferecida para este argumento. Usando

P - Aristóteles escreveu obras de lógica
Q - Aristóteles escreveu obras de lógica e de política

o manual oferece as seguintes formalizações:

(p Ù q) ├─ q Ù p

Nada de grave aqui, embora os parêntesis sejam inúteis. Mas alternativamente oferece também esta:

(p Ù q) « (q Ù p)

E esta é uma falha grave. Em primeiro lugar '(p Ù q) ├─ q Ù p' é aquilo a que se chama um sequente sintáctico, isto é, uma expressão construída para dar conta de argumentos e que contém na realidade duas fórmulas 'p Ù q' (a premissa) e 'q Ù p' (a conclusão) unidas por um martelo sintáctico, enquanto a segunda é apenas uma fórmula, uma bicondicional, que expressa a equivalência entre 'p Ù q' e 'q Ù p'. É verdade que se pode converter um sequente sintáctico numa fórmula (embora o autor só o explique na pagina 60 onde, curiosamente, o processo é correctamente explicado), mas no caso do argumento em apreço - e, de facto, de qualquer argumento - essa fórmula nunca pode ser uma bicondicional, mas sim uma condicional. Portanto, o argumento seria expresso pela seguinte fórmula '(p Ù q) ® (q Ù p)'. Esta fórmula diz que 'p Ù q' é condição suficiente para 'q Ù p', enquanto que '(p Ù q) « (q Ù p)' diz que 'p Ù q' e 'q Ù p' são condições necessárias e suficientes uma da outra. Ora, isto até pode ser verdade - e é de facto verdade, porque, do ponto de vista lógico, 'p Ù q' é logicamente equivalente a 'q Ù p' -, mas não é isso que o argumento diz e, portanto, não é isso que queremos formalizar. Se seguíssemos este exemplo do manual e usássemos bicondicionais para formalizar argumentos, estaríamos constantemente a cometer petições de princípio.

No começo da página 51, a propósito da «redução dos argumentos em linguagem natural às formas canónicas da argumentação», o manual apresenta um quadro com três colunas. A primeira coluna apresenta os argumentos em linguagem natural, a segunda apresenta os argumentos na forma canónica e a terceira a sua simbolização e formalização.

Uma das frases que aparece na coluna da linguagem natural é esta:

Se tiver o 1.º prémio da lotaria, compro um iate. Ou seja, não tenho o 1.º prémio ou compro o iate.

A primeira frase («Se tiver o 1.º prémio da lotaria, compro um iate.») expressa uma proposição condicional e a segunda («Não tenho o 1.º prémio ou compro o iate.») expressa uma disjunção. O operador «ou seja» expressa a ideia de que as frases são equivalentes. Isto é verdade. A regra da implicação afirma que uma condicional, por exemplo, 'se p então q' é equivalente a 'não p ou q' e, claro que 'não p ou q' é equivalente a 'se p então q'. Portanto, o que

Se tiver o 1.º prémio da lotaria, compro um iate. Ou seja, não tenho o 1.º prémio ou compro o iate.

afirma é uma equivalência entre a proposição

Se tiver o 1.º prémio da lotaria, compro um iate.

E a proposição

Não tenho o 1.º prémio ou compro o iate.

No entanto, quando passamos para a coluna da forma canónica esta equivalência transforma-se num argumento:

Se tiver o 1.º prémio da lotaria (p), então compro um iate (q) . Portanto, não tenho o 1.º prémio ou compro o iate.

Para se voltar a transformar numa equivalência aquando da simbolização e formalização:

(p ® q) « (~p Ú q)

E pronto! Uma última palavra para referir o péssimo trabalho feito a propósito das falácias. A título de exemplo veja-se nas páginas 108 e 109 o argumento da questão complexa e a falácia da questão complexa e nas páginas 116 e 117 a descrição do argumento ad baculum (!) e da falácia ad baculum.

A Cor das Ideias
Rui Grácio e José Girão
Texto Editora, 2004

Os Princípios principiam alguma coisa?

O manual começa, na página 12, com uma brevíssima apresentação dos famosos 3 princípios (F3P) da lógica ― identidade, contradição, terceiro excluído. Em regra chamamos «princípios» ou às nossas premissas mais básicas por serem o ponto de partida dos nossos raciocínios ou às regras pelas quais encadeamos os nossos raciocínios. Acontece que estes F3P nunca se fazem acompanhar de exemplos e exercícios da sua aplicação e nos capítulos em que se trata do raciocínio não são mencionados. O resultado é que as referências aos F3P obscurecem a simples noção de princípio porque o estudante não os vê a principiar coisa alguma.

Os argumentos têm ou não a propriedade de serem verdadeiros?

A página 13 é dedicada à «Distinção validade (formal) / verdade (material)». Esta distinção será retomada na página 23 sob o tópico «O Raciocínio. Dedução, Indução e Analogia». Mas as noções de verdade e validade resultam obscurecidas destas páginas.

Na página 13 o manual aplica «verdade» e «falsidade» a argumentos...

«Outros raciocínios podem ser inválidos do ponto de vista formal. Mas verdadeiros do ponto de vista material. Tal como outros podem ser válidos e verdadeiros e outros ainda inválidos e falsos.»
(Pagina 13)

. mas na página 25 o manual já diz, muito bem, que verdade e falsidade só dizem respeito a juízos e proposições.

«Verdade e falsidade, são pois, valores lógicos a considerar apenas a nível dos juízos ou das proposições.»

. e, na mesma página, alguns parágrafos abaixo, a verdade salta de novo para os argumentos:

«Mas, do ponto de vista dos outros saberes, só temos um argumento correcto quando ele é válido e, simultaneamente verdadeiro.»

Portanto, entre a página 13 e a página 25 os argumentos ganham, perdem e voltam a ganhar a propriedade de poderem ser verdadeiros ou falsos. O manual está a usar «argumento verdadeiro» e «argumento falso» para abreviar, respectivamente, «argumento que não contém premissas falsas» e «argumento que contém pelo menos uma premissa falsa», mas com tal opção promove a confusão entre propriedades das proposições e propriedades dos argumentos. Confusão que, vamos ver, atinge a noção de validade.

Implicações que não implicam?

A validade é propriedade de um argumento cujas premissas, verdadeiras ou falsas, implicam a conclusão. O ponto crucial para a lógica é que para sabermos se a conclusão é implicada pelas premissas não temos de saber se as premissas são verdadeiras ou falsas. Podemos esclarecer este ponto usando o exemplo dado pelo manual na página 13. Admitamos que um marciano ainda mal informado sobre a Terra, aceitou as premissas do argumento,

Os edifícios mais sólidos são em madeira.
Ora, os edifícios de Portugal são os mais sólidos.

Nesse caso deveria também aceitar a conclusão por elas implicada:

Logo, os edifícios portugueses são em madeira.

Aceitamos que o argumento é válido (as premissas implicam a conclusão), mas explicamos ao marciano que o rejeitamos por ter premissas falsas. Simples. Mas o manual contradiz este resultado ao dizer que o mesmo argumento não tem validade material (página 13). Querem os autores dizer que, materialmente, as premissas deixaram de implicar a conclusão? Quererá isso dizer que, materialmente, é legítimo aceitar as premissas mas rejeitar a conclusão? Absurdo. Os autores pensaram que podiam usar «validade» como sinónimo de «aceitável», «bom», etc., não percebendo como iriam obscurecer as noções formais de validade e de implicação porque, seja o que for que queiram dizer com «validade» em «validade material», isso nada pode ter a ver com a definição rigorosa de «validade».

A falsidade de uma conclusão é explicada pela falsidade das premissas?

Pensar que se os pontos de partida dos nossos raciocínios (as premissas) são falsos, então a conclusão terá de ser falsa, é um erro típico e bastante perigoso de quem se inicia no estudo da lógica. Por isso não esperávamos encontrá-lo num manual. Depois de expor o argumento que citamos acima, diz o manual na página 13:

«A conclusão do raciocínio . é falsa, uma vez que é falsa a primeira proposição .» (itálico meu)

Isto está errado. A falsidade de uma conclusão não é produzida nem é explicada pela falsidade das premissas. É fácil provar este ponto com exemplos e os nossos estudantes deverão saber fazê-lo:

Exemplo 1:

As baleias são peixes.
Os peixes vivem na água.
Logo, as baleias vivem na água.

Trata-se de um argumento válido, com premissas falsas (a primeira) e conclusão verdadeira Com este exemplo, o aluno prova que premissas falsas não implicam a conclusão falsa.

Exemplo 2:

Os peixes vivem na água.
A baleia vive na água.
Logo, a baleia é peixe.

Trata-se de um argumento inválido, com premissas verdadeiras e conclusão falsa. O aluno prova assim que a falsidade da conclusão não implica a falsidade de premissa alguma.

Só há um caso em que podemos relacionar a falsidade da conclusão com a falsidade de uma premissa ― o caso em que o argumento é válido. Mas, se o manual quisesse indicar tal relação teria de dizer:

Pelo menos uma premissa tem de ser falsa uma vez que o argumento é válido e uma vez que a conclusão é falsa.

Resumindo,

• Em nenhum caso podemos concluir que a conclusão é falsa por uma premissa ser falsa.

• Dado um argumento válido (e só nesse caso),

a) podemos concluir a falsidade de pelo menos uma premissa pela falsidade da conclusão;

b) mas ao reconhecermos que uma premissa é falsa, não podemos concluir que a conclusão é falsa (como provou o exemplo 1).

O manual indica-nos uma das origens destas confusões quando, junto da passagem fatídica, nos remete para um Texto 3 da página 64. É um texto Meyer, um filósofo trapalhão que, desconhecendo lógica elementar, tem o descaramento de escrever um livro intitulado Lógica, Linguagem e Argumentação do qual é retirado o texto. Citemos um naco.

A conclusão, materialmente falsa porque uma das premissas o é, é formalmente verdadeira.

Uma frase, dois erros! Com o itálico assinalo o erro que o manual subscreveu; o segundo disparate consiste em usar a expressão «formalmente verdadeira» como sinónimo de «implicada pelas premissas».

Uma pessoa que sabe um mínimo de lógica reage à expressão «proposição formalmente verdadeira» pensando numa tautologia, isto é, numa proposição que, apenas por virtude da sua forma, não pode ser falsa. Por exemplo: a proposição «a baleia é peixe ou a baleia não é peixe» não pode ser falsa (seja qual for o curso do mundo), porque não pode ser falsa nenhuma proposição que tenha a sua forma ― «A ou não A». Ora, dizer que «Sócrates tem asas» (é o exemplo de Meyer!) é formalmente verdadeira, uma tautologia, só lembra ao diabo, ao Meyer ou a um cábula mas dos maus.

Algumas pessoas poderão pensar que esta crítica ao desleixo no uso da terminologia é excessiva, argumentando já que Meyer apenas quis dizer que a conclusão é implicada pelas premissas, o que está certo. Bem, se cada um rebaptizar arbitrariamente as noções da lógica não nos entenderemos. Mas é mais importante considerar isto: se adoptarmos a tola convenção de Meyer, podemos anunciar ao mundo esta verdade

Todas as proposições são formalmente verdadeiras.

porque, para qualquer proposição, atinada ou disparatada, é sempre e fácil encontrar premissas falsas que a impliquem. Assim, caso Meyer seja levado a sério, o próximo exame poderia conter esta pergunta.

― Prove que a proposição «As sardinhas são números.» é formalmente verdadeira.

Adoptando o vocabulário de Meyer a seguinte resposta está certa.

No argumento As sardinha são gambozinos. Os gambozinos são números. Logo, as sardinhas são números., a conclusão é implicada pelas premissas. Logo «As sardinha são números.» é formalmente verdadeira.

E a pergunta natural é esta: até que ponto queremos tornar razoável a crença de que a filosofia é um ensino de bizarrias?

Mais terminologia confusa

O manual confunde as noções que explicitamente pretende esclarecer. Na página 19 afirma:

«Uma proposição é, pois, a expressão verbal de um juízo.»

e a seguir, contradiz-se:

«No entanto, de um ponto de vista lógico, nem toda a proposição é um juízo.»

e apresenta como casos de proposições que não são juízos as «proposições imperativas», as «proposições interrogativas» e outras. Acontece que como «do ponto de vista da lógica» se chama proposição ao que tem um valor de verdade (e só a isso), as «proposições imperativas» e as «interrogativas» não são proposições. Esta confusão ocorre porque o manual mistura o uso gramatical e o uso lógico de «proposição» sem necessidade e sem qualquer chamada de atenção para isso. Tal como a noção de validade já tinha sido obscurecida pelo facto de o manual se recusar a distinguir o uso técnico e rigoroso de «validade» do seu uso corrente onde muitas vezes surge como sinónimo de «aceitável» ou semelhante.

Da página 23 à página 29 o manual trata de O Raciocínio. Dedução, Indução e Analogia.

Começa por definir inferência:

Uma inferência é a operação que consiste em passar de uma ou mais proposições para outra ou outras que aí estavam contidas implicitamente.

Esta definição está errada porque, mesmo aceitando o uso duvidoso de «estar implícito», só se poderia aplicar a inferências dedutivas.

O manual prossegue com a típica mas errónea caracterização da dedução e da indução. A indução continua a ser definida como inferência do particular para o geral (como se toda a indução fosse generalização) e a dedução como sendo inferência do geral para o particular. Este tipo de erro torna-se cada vez menos perdoável porque já há boa bibliografia que esclarece o assunto e, sobretudo, porque é fácil de provar que se trata de um erro. Veja-se o seguinte exemplo.

João: ― Tive 14 ou 15 no teste.
Professora: ― Está certo, tiveste 15.

O raciocínio pelo qual a professora avaliou a afirmação de João numa forma padronizada:

João teve 15.
Logo, é verdade que João tem 14 ou João tem 15.

Concluímos que a previsão de João estava certa com uma dedução impecável. Como se trata de uma dedução (a verdade da premissa garante a verdade da conclusão), então, de acordo com o manual, segue-se que a premissa «João teve 15.» é mais geral que a conclusão «João tem 14 ou João tem 15.».

Como a simplicidade do exemplo sugere, ao desleixarmos desta maneira os estudo das noções básicas da lógica, complicando-a com definições arcaicas e erradas, só nos afastamos do objectivo de estudar e aperfeiçoar os processos de raciocínio que já usamos intensivamente no dia a dia. Isso permitirá depois acusar a lógica de ser muito artificial e de se afastar dos raciocínios que fazemos na prática.

A indução que é uma dedução.

Um dos efeitos destas confusões está no uso do nome «indução completa». Vejamos um exemplo da dita indução completa:

José teve positiva no teste.
Miguel teve positiva no teste.
Maria teve positiva no teste.
José, Miguel e Maria são todos os alunos desta turma.
Logo, todos os alunos desta turma tiveram positiva no teste.

Isto não é uma indução nem mesmo à luz das definições imprecisas do manual. É uma dedução porque se as premissas forem verdadeiras está garantida a verdade da conclusão. A indução não dá esta espécie de garantia porque só pode, no máximo, mostrar que a verdade da conclusão é apenas provável, plausível ou verosímil. Se o leitor quiser transformar esta dedução em indução, pode eliminar a quarta premissa ou substituí-la por «Esta turma tem 4 alunos.» e obtém um argumento que dá força e plausibilidade à conclusão mas que não a garante.

No mínimo o manual devia alertar para as possíveis confusões, dizendo que mantém a definição de indução completa por amor à tradição mas que, obviamente, se trata de uma dedução. Claro que se o dissesse percebia-se logo que não vale a pena amar uma tradição confusionista apenas por ser tradição.

O cálculo proposicional

Na página 68, a proposição «As pedras não falam.» é considerada simples, não decomponível. Ora, o facto é que se trata de uma negação ― e o próprio manual ensinará que a sua avaliação depende de uma decomposição: para sabermos se ela é falsa temos de avaliar primeiro a proposição simples «As pedras falam» e caso seja vera a sua negação será falsa e caso seja falsa a sua negação será verdadeira.

Na página 69 o manual classifica a proposição

O Pedro só vai ao cinema se a Judite também for.

considerando, erroneamente, que se trata de um bicondicional com a forma

P se e só se Q

e, portanto, equivalente a

O Pedro vai ao cinema se e só se Judite também for.

De acordo com esta interpretação, ambas as proposições são condição necessária e suficiente uma da outra pelo que a proposição também se poderia escrever assim:

Se Pedro vai ao cinema, Judite vai ao cinema e se Judite vai ao cinema, Pedro vai ao cinema.

Esta interpretação não coincide com a interpretação padrão das proposições com o aspecto «P só se Q» porque com uma afirmação com esta forma a pessoa não diz «Basta Q para P», diz apenas, «Q é necessário para P». Neste caso: Judite ir ao cinema é condição necessária para que Pedro vá ao cinema. Dito de outra maneira: Se Pedro for ao cinema, sabemos que Judite também foi; se Judite foi ao cinema sabemos apenas que Pedro pode ter ido mas não sabemos se foi ou não.

Um exemplo para clarificar este ponto:

A arma só dispara se estiver carregada.

Ninguém vai pensar que basta que a arma estar carregada para a arma disparar. Estar carregada é condição necessária para disparar mas não suficiente.

A mesma análise é óbvia para os seguintes exemplos:

O carro só anda se tiver gasolina.

De acordo com o manual, bastaria o carro ter gasolina para estar em movimento.

Só compras camisolas se tiveres dinheiro.

. e desde que tenhas dinheiro és um insaciável comprador de camisolas.

Os exemplos poderiam multiplicar-se mas regressemos ao exemplo dado pelo manual e imaginemos um contexto em que ele tenha sido proferido. Luisita, a pequenita do 3.º andar apareceu a perguntar se o Pedro, de 4 anos, podia ir com ela e a família ao cinema. O pai de Pedro pensa que se Judite, de 10 anos, também for não haverá problema e propõe-se a investigar se Pedro e Judite querem de facto ir ao cinema. Entretanto diz:

O Pedro só vai ao cinema se a Judite também for.

E talvez a Judite queira ir mas Pedro não. Nesse caso Judite vai e Pedro fica ― e, segundo o manual, o pai de Pedro teria dito uma falsidade. Mas não, não disse, ele só tinha dito, muito correctamente, que Judite ir ao cinema era uma condição necessária (mas não suficiente) para Pedro ir ao cinema.

Grandes confusões esperam-nos nas página 79 e 80, no item Leis e regras de inferência: modus ponens e modus tollens.

― «Argumento» é usado para designar, desnecessariamente e à maneira dos matemáticos (e dos informáticos), as proposições mais simples a que se aplicam as conectivas tratadas como funções de verdade. Mas também é usado para designar argumentos como conjunto de proposições em que uma (a conclusão) deriva das outras (as premissas). Mas o facto de um mesmo termo «argumento» ser usado com dois significados técnicos mas que nada têm em comum, não só não foi explicado como origina outras terríveis confusões.

― Sem que nenhum esclarecimento seja dado, as proposições condicionais tornam-se argumentos e os argumentos tornam-se proposições condicionais! As proposições condicionais ganham «conclusões», um novo nome para o consequente e passamos a «derivar argumentos que servem de conclusão». Na página 80 os autores vêem «premissas» dentro de proposições condicionais sem dizerem como vêem tal coisa. A confusão é tal que o manual nem nos sabe dizer o que estamos a fazer quando realizamos as operações propostas: «resolver expressões», «extrair o consequente do antecedente», «verificar o seguinte enunciado» são as expressões usadas ― o que fica obscurecido é

a) se estamos a verificar os possíveis valores de verdade de uma proposição (e, portanto, se ela é uma tautologia, contradição ou contingência);

b) se avaliamos a validade de argumentos;

c) ou se estamos a usar propriedades das condicionais para avaliar argumentos;

d) ou se estamos a usar propriedades dos argumentos para avaliar proposições condicionais.

O estudante, apenas com a ajuda do manual, não poderá distinguir uma proposição condicional de um argumento. Se lhe derem para analisar um argumento que contenha uma proposição condicional como «Se aceitas a pena de morte, então achas que os tribunais são infalíveis ou aceitas o risco de matar inocentes» julgará que esta se trata de um argumento dentro de uma argumento...

A Lógica limitou o uso da lógica? (p. 47)

A vantagem que muitas pessoas extraem de um ensino desleixado da lógica é o facto de isso lhes permitir o desleixo em relação a outras matérias. Como a lógica elementar é crucial para o exame de qualquer matéria filosófica, o desleixo na lógica poupa-nos a um exame criterioso do que dizemos. O facto de a lógica ter sido mal definida permite, por exemplo, que o manual, falando dos esforços dos criadores da Lógica diga, na página 47, que

«Estas aplicações da Matemática à linguagem.» referindo-se à tentativa de criar uma sintaxe sem ambiguidades «embora conferindo-lhe, é certo, um maior rigor formal limitaram-lhe o domínio de aplicação (não é fácil exprimir, por exemplo, um sentimento pessoal numa linguagem artificial.)»

A ideia de que um dos limites da lógica, introduzido no séc. XX, é o de que não descreve adequadamente sentimentos pessoais é descabida. Nunca foi objectivo da lógica descrever sentimentos, da mesma maneira que não é seu objectivo descrever as couves ou a inflação ou as leis da natureza.